98. matematické kolokvium KAM - Carl Pomerance (Dartmouth College, USA): Random number theory

Abstrakt

No, it's not the theory of random numbers, though that's a part of it. Probabilistic methods have played a role in number theory for close to 90 years, if not longer. This lecture will highlight some of this history from Schoenberg to Turán, and the Erdös collaborations with Wintner and Kac. In the 1950's Erdös helped get the "probabilistic method" off the ground with his study of Sidon sequences. In the modern era, randomness has played an essential part in number-theoretic algorithms and in the way we think of the distribution of prime numbers. We will end our tour with the role of probability in the abc conjecture, the Erdös covering congruences problem, and the Catalan-Dickson conjecture.

Prof. Pomerance se laskavě uvolil přednést týž den 8. listopadu 2016 v posluchárně S5 v 10:30 přednášku The First Dynamical System.

Abstrakt druhé přednášky

For a natural number n, let s(n) denote the sum of the positive divisors of n that are smaller than n. Introduced by Pythagoras 2500 years ago, it is perhaps the first function ever studied in mathematics. Additionally, Pythagoras suggested iterating s, finding some 1-cycles and 2-cycles. It has been conjectured (over a century ago) that there are no unbounded orbits, and there is a "counter" conjecture (from over 40 years ago), that most orbits starting at even numbers are unbounded. Amazingly, the first number in doubt is 276. I will report on some recent developments concerning the distribution of numbers in a cycle, numbers missing from the range of s, and some numerical and statistical results on the two conjectures.

CV

Profesor Carl Pomerance vystudoval na Harvardu, byl řádným profesorem na University of Georgia v Athens a pak na Dartmouth College. Byl hostem předních mezinárodních institucí (např. IAS Princeton, MSRI Berkeley, Aisenstadt Chair, CRM). Je mezinárodně proslulým matematikem v teorii čísel — zmiňme společný důkaz s Alfordem a Granvillem nekonečnosti počtu Carmichaelových čísel — a publikoval téměř v každém jejím odvětví řadu článků (včetně 17 prací s P. Erdösem). Za svou vědeckou činnost získal řadu ocenění (Chauvenet Prize MAA, Connat Prize 2001, AMS Fellow) a přednesl přednášku na ICM 1994 v Curychu. Profesor Pomerance je vynikající přednášející a je mimořádnou příležitostí mít možnost vyslechnout v Praze hned dvě jeho přednášky věnované ústřední oblasti jeho zájmu.

Jaroslav Nešetřil