Vzpomínka na Petra Vopěnku

Převzato z Blogu Jaroslava Chudáčka.

20. března 2015 ve věku 79 let zemřel vynikající český matematik Petr Vopěnka.

Petr Vopěnka byl vynikajícím matematikem a pedagogem. Jeho dva vědečtí školitelé byli:

• akademik Eduard Čech , jeden z nejvýznamnějších českých matematiků (vyznamenal se především svou prací v topologii) a
• Ladislav Rieger.

Zpočátku se Petr Vopěnka zabýval především "klasickou" (tj. tzv. Cantorovou) teorií množin a matematickou logikou. Jeho práce o "nabla modelech" přispěla k důkazům nezávislosti některých axiomů teorie množin.

Definoval též jeden velký kardinál, který se nyní nazývá Vopěnkovým kardinálem a je jeden z největších kardinálů. To jest, je to obrovské nekonečno, které je mnohem větší než skoro všechna jinak definovaná nekonečna. Viz Vopěnkův princip.
Pro laiky zdůrazňuji, že v matematice se studují matematická nekonečna, která jsou z principu něco jiného než případná nekonečna v reálném světě anebo ve fyzice.

Koncem 60. let Petr Vopěnka pracoval na tzv. teorii polomnožin, kterou získal studiem základních vlastností nestandardních modelů teorie množin. Ucelené podání této teorie je v knize: P. Vopěnka and P. Hájek, The Theory of Semisets, North Holland and Academia, 1972.

Vopěnkova alternativní teorie množin

Zhruba v roce 1972 Petr Vopěnka definoval tzv. alternativní teorii množin (ATM). Základní objekty v této teorii jsou třídy a množiny s binárním predikátem náležení. V této teorii jsou všechny množiny formálně vzato konečné. To znamená, že množiny v alternativní teorie množin splňují axiomy teorie Zermelo-Frenkel pro konečné množiny. Neplatí zde však, tak jako tomu je v klasické Cantorově teorii množin (axiomatizované třeba systémem Gödel-Bernays), že třída, která je část množiny je množina. Části množiny mohou být tzv. vlastní třídy, tyto třídy nejsou samy prvkem žádné množiny. Třídy umožňují v alternativní teorii množin mimo jiné modelovat nekonečno. V ATM jsou pouze dvě nekonečna: spočetno a kontinuum.

Od roku 1972 se Petr Vopěnka spolu s několika svými studenty intenzívně zabýval alternativní teorií množin a vývojem matematiky v této teorii. Tito studenti v letech 1972 - 1976, kdy jsem jako vědecký aspirant pod Vopěnkovým vedením na Matematicko-fyzikální fakultě Karlovy university pracoval, byli:

• Antonín Sochor, věnoval se především metamatematickým otázkám ATM, jako jsou relativní konzistence různých teorií, nezávislosti axiomů atd.
• Karel Čuda, věnoval se především infinitezimálním kalkulu v ATM a též kalkulu v tzv. nestandardní analýze.
• Josef Mlček, věnoval se například topologii v ATM.
• Jaroslav Chudáček, přispěl k topologii v ATM a větou o aproximaci spojitých reálných funkcí hyperpolynomy v ATM, detaily viz níže.

První Vopěnkovou publikací o alternativní teorii množin a o matematice v ní je: Petr Vopěnka, Mathematics in the Alternative Set Theory, Teubner Texte, Leipzig, 1979, ruský překlad Mir, 1983.

Vlastní třídy, které jsou částí nějaké množiny se nazývají polomnožiny. V alternativní teorii množin existují dva druhy přirozených čísel: malá přirozená čísla, které Vopěnka nakonec nazýval konečná přirozená čísla a nekonečně velká přirozená čisla (původní termíny byly standardní anebo absolutní přirozená čísla a nestandardní přirozená čísla). V důsledku toho je v této teorii množin též možno definovat nekonečně malá reálná čísla a monády, přesně tak, jak s těmito pojmy kdysi pracovali matematici od Leibnize až po Eulera. V jejich dobách to však byla velmi ošemetná práce, protože museli pracovat velmi opatrně, jinak by mohli vyvodit neplatná tvrzení anebo dojít ke sporům. Proto - vlastně tato přirozená - práce s infinitezimály byla v 19. století opuštěna a nahrazena nepřirozenou tzv. epsilon-delta akrobatikou. Každý student matematiky, fyziky nebo techniky ji někdy zažil: pro každé eposilon existuje delta, takové že ....

Ve Vopěnkově alternativní teorii množin je však jasné, jaké kroky s infinitezimály jsou povoleny. Je to tedy zcela konzistentní a rigorózní práce s nekonečně velkými a nekonečně malými veličinami. Toto samo o sobě však není Vopěnkův příspěvek matematice. Konzistentní a matematicky přesnou práci s infinitezimály do matematiky zavedli jiní, např. Abraham Robinson. Viz A. Robinson, Nonstandard analysis, North Holland, 1966. Ti k tomu používali tzv. nestandardní modely. Existenci nestandardního modelu aritmetiky dokázal a do matematiky tyto modely zavedl Toralf Skolem. Nestandardní analýza se stala významným oborem, ačkoliv se neprosadila tak, jak někteří zpočátku očekávali.

Vopěnkovým přínosem bylo to, že v jeho alternativní teorie množin není třeba vytvářet nestandardní modely. Přímo v ATM je možno definovat nekonečně velká a nekonečně malá čísla a ATM je možno vidět jako axiomatizaci jistého druhu nestandardním modelů. Podobnou alternativní teorii množin definoval Nelson v roce 1977. Viz Alternative Axiomatic Set Theories, v kapitole 8.2 je tam pojednáno o Nelsonově teorii a v kapitole 9.2 je pojednáno o Vopěnkově alternativní teorii množin. Zatímco Nelson se soustředil pouze na axiomatizaci nestandardní analýzy, tak Vopěnka šel dál a omezením počtů nekonečen na dvě nekonečna výrazně modifikoval Cantorovu teorii množin.

Vopěnkova alternativní teorie množin a matematika v alternativní teorii množin se (zatím) neuchytila a neprosadila tak, jak Petr Vopěnka chtěl a kdysi očekával. K tomu bylo a je více důvodů. Je to podobné jako s nestandardni analýzou, která v se v 60. a 70. letech minulého století slibně rozjela, ale nadále spíš jen skomírá. Nestandardní analýza a alternativní teorie množin přišly později než epsilon-delta akrobatika a Cantorova teorie množin. Ačkoliv dělat infinitezimální počet v nestandardní analýze a v alternativní teorii množin je přirozenější a jednodušší než v Cantorově teorii množin s epsilon-delta akrobatikou, tak matematici si na Cantorovu teorii množin a epsilon-delta akrobatiku již zvykli a ji vyučují. Fyzici v Česku i Nizozemsku klidně intuitivně pracují s infinitezimály a nevadí jim, že dle většiny matematiků pracují nepřesně, pohybují se na tenkém ledě a mohou tak udělat chyby. Na druhou stranu, jisté pokročilé matematické obory (například funkcionální analýzu) je složité ne-li nemožné dělat v nestandardní analýze anebo v alternativní teorii množin. Vopěnkův názor byl, že funkcionální analýzu v alternativní teorii množin bude nutno dělat nějak jinak, nevěděl však jak. Přesto, Vopěnkova alternativní teorie množin je jakási minimalistická teorie, ve které je možno dělat velkou část užitečné matematiky.

Funkcionální analýza v alternativní teorii množin a kvantová fyzika

Malá odbočka do fyziky: Můj osobní názor je, že se musíme podívat na to, kde se (i mimo matematiku) funkcionální analýza potřebuje a pro to vymyslet nějaký jiný matematický obor, který by byl součástí matematiky a třeba matematiky v alternativní teorie množin. Hilbertovy prostory z funkcionální analýzy se používají například v kvantové fyzice. Mně a jistě i Einsteina v nebi by velmi potěšilo, kdyby někdo rozšířil aparát teorie částic a alternativní teorie množin o něco, sice vůbec nevím jak a o co, a tím by umožnil uchopit Einsteinem očekávané a předpokládané "skryté proměnné" (hidden variables) kvantové fyziky a z kvantovky vyřadil pravděpodobnosti, které do ní byly zavedeny možná jen a jen proto, že ty skryté proměnné (zatím) nevidíme a nedovedeme s nimi pracovat. Vím, že málo současných fyziků by se mnou v tomto souhlasilo, protože se domnívají (možná právem), že náhodnost a pravděpodnosti v kvantové fyzice jsou nevyhnutelné.

Geometrie, historie matematiky, Husserlova fenomenologie

Od sedmdesátých let minulého století se Petr Vopěnka stále více zajímal a filosofii, speciálně o Husserlovu fenomenologii a o historii matematiky. Napsal několik pojednání o historii matematiy, především geometrie, kterou považoval za historicky důležitou část matematiky, a o filosofii.

V alternativní teorii množin je axiom prodloužení, který postuluje, že pokud máme funkci, která je definována na třídě všech konečných přírozených čísel (taková funkce je nutně vlastní třída), tak ji můžeme prodloužit do množinové funkce, která je definována od nuly až do jistého nekonečně velkého přirozeného čísla. Pro laiky to ilustruji na příkladu: pokud vidíme kolejnice a že jsou na nich pražce až tam, kam dohlédneme (tj. po horizont), tak můžeme očekávat, že ty pražce nekončí přesně na horizontu, ale vedou i o kousek dál za horizont. Husserl se ve své fenomenologii snažil vše přesně definovat a vycházet jen z toho, co je zřejmé a ověřitelné. To by však bylo málo, třeba jen proto, že bychom měli při konečném jazyce a konečném množství viditelných objektů pouze konečné množství pravdivých tvrzení. Proto si Husserl ve své fenomenologii pomohl axiomem o prodloužení za horizont. O Husserlově fenomenologii odkazuji na knihu: Edmund Husserl: Krize evropských věd a trascendentální fenomenologie, Academia, 1972. Vopěnka udělal v matematice prodloužení za horizont podobně jako Husserl, byť, pokud vím, na to přišel nezávisle na Husserlovi. O Husserlovi a jeho práci se myslím dozvěděl až později v 70. letech od filosofa Jiřího Polívky.

Ministr školství, mládeže a tělovýchovy

Od června 1990 do července 1992 Petr Vopěnka byl ve vládě premiéra Petra Pitharta ministrem školství, mládeže a tělovýchovy. Do kabinetu jej nominovala Křesťanskodemokratická strana.

Vopěnkovy "osobní paradoxy"

Jako skoro každá velká osobnost měl Petr Vopěnka též kontroverzní stránky. Při vší úctě k mému učiteli tu některé tyto stránky zmíním. Myslím si, že byl v podstatě dobrý a čestný člověk, který se vždy v dané situaci snažil dělat to, co bylo dle něj nejen pro něj ale i pro celek nejlepší.

Ačkoliv v 60. letech definoval jeden z největších kardinálů, zvaný Vopěnkův kardinál, tak se po roce 1971 věnoval alternativní teorii množin, kde připouštěl pouze dvě nekonečna. Chtěl, aby se matematici vrátili k základním problémům matematiky a neutíkali před nimi do velkých nekonečen. Ne u všech matematiků za to byl oblíben.

Do roku 1968 (nevím od kdy) byl Petr Vopěnka členem komunistické strany. V roce 1968 byl proděkanem a jelikož děkan byl dlouhodobě nemocný, tak děkana zastupoval a vedl v kritickém roce 1968 Matematicko-fyzikální fakultu Karlovy university. Leden 1968 až srpen 1968 bylo krásné období v celém Českoslovenku a i na Matfyzu, kdy jsme krátce zažívali závan svobody. P. Vopěnka vedl katedru matematické logiky a na ní založil studijní směr teoretické kybernetiky. V tomto období by jej bylo možno nazvat reformním komunistou. A pamatuji si, že si to užíval. To myslím v dobrém slova smyslu, uvolnění spolu s jinými použil k reformě studia a vědecké práce na pražském Matfyzu. Kvalita výzkumu a výuky na Matematicko-fyzikální fakultě v šedesátých létech špatná nebyla. Jisté reformy, například rozšíření počtu studijních oborů, však fakultě prospěly.
Po srpnu 1968 Vopěnka vystoupil ze strany. Nemohl jinak, nesouhlasil se vstupem spřátelených armád a kdyby ze strany nevystoupil, tak by ho z ní stejně asi vyloučili. Stal se zpočátku režimem tolerovaným "bývalým komunistou", ale později více méně disidentem, který sice směl na Matfyzu nadále pracovat, ale publikování mu bylo zpočátku zcela zakazováno a později ztěžováno. Styk se studenty mu byl omezován.
To, že Vopěnka od roku 1970 pár let nesměl publikovat, bylo nepříjemné i pro jeho kolegy, kteří na ATM pracovali. Jak jsem výše zmínil, první jeho publikace o ATM vyšla až v roce 1979. Někteří z nás jeho studentů a kolegů občas něco o své práci v ATM vydali dříve, avšak nemohli jsme se odkázat na žádnou základní Vopěnkovu práci o jeho teorii, prostě proto, že zatím neexistovala. Takže jsme v úvodu článku vždy trochu shrnuli některé základní fakta o "Vopěnkově alternativní teorii množin", ale neodkázali jsme tak, jak se ve vědeckých publikacích sluší a patří, na žádnou Vopěnkovu práci o ATM. Vytvářelo se tím o ATM jakési tajemno a mystično, které nebylo nikomu příjemné. Mně určitě ne.

V době, kdy byl v Pithartově vládě ministrem školství, byla v Česku otevřena spousta nových univerzit a vysokých škol. Otázka je, zda to s jejich počtem nepřehnal, zda to není na úkor kvality.

V devadesátých letech minulého století se v české společnosti diskutovalo o zrušení Československé a pak České akademie věd. Příznivci zrušení říkali, že některé ústavy akademie (hlavně ve společenských vědách) jsou stále prolezlé starými strukturami. Druhým důvodem pro ně bylo to, že na univerzitách a technických vysokých školách byl nedostatek kvalitních učitelů a že vědci potřebují mít kontakt se studenty. Petr Vopěnka se tehdy v médiích vyjádřil, že je pro zrušení akademie věd. Už si nepamatuji, zda to bylo v době, kdy byl ministrem školství, pak by to mělo velkou váhu.
Přínos vědce do oboru se často hodnotí dle citačního indexu, zhruba řečeno dle počtu citací jeho článků v jiných vědeckých pracích. Jedna z perliček Petra Vopěnky z té doby byl jeho výrok, který jsem si kdysi přečetl v českých novinách, kde řekl zhruba toto: někteří vědci pracují v obskurních podoborech vědy a žijí z toho, že je stejně duševně postižení "vědci" citují. Vopěnka uměl občas provokovat, dělal to velmi rád a někdy myslím celkem právem takto něco kritizoval.
S návrhy na zrušení akademie věd však nesouhlasím. Akademie věd je vynikající organizace, kde vědci mohou nerušeně dělat základní výzkum. Musí si však stále ve větší míře na svůj výzkum přes externí granty shánět peníze. Staré struktury bylo třeba z akademie věd vyházet, to se snad již před léty stalo. Vědci pracující v akademi věd vždy mohli a stále mohou jako externí pracovníci na universitách vyučovat a mít tak kontakt se studenty. Na bývalé Vopěnkově katedře matematické logiky v sedmdesátých letech vyučovali matematickou logiku a teoretickou kybernetiku vědci z Matematického ústavu akademie věd. Namátkově zmiňuji Petra Hájka (matematická logika), Antonína Sochora (teorie množin) a Bečváře (teorie automatů).

Petr Vopěnka byl velmi inteligentní člověk a schopný matematik. Ačkoliv byl zpravidla velmi zdvořilý, byl k lidem ve svém okolí často nápomocný, ochotně se zapojoval např. do doškolování středoškolských učitelů, tak přesto na někoho mohl někdy působit arogantně a velikášsky.
Např. jeho alternativní teorii množit jsme v angiličtině nazývali: The Alternative Set Theory. Tento název s "the" se některým lidem na západě nelíbil, protože na ně působil dojmem, že si myslíme, že tato teorie je ta jediná pravá alternativa ke Cantorově teorie množin, ačkoli těch alternativ bylo a je více, viz Alternative Axiomatic Set Theories, kde je Vopěnkova Alternativní teorie množin pod názvem Vopenka's alternative set theory zmíněna jako jedna z alternativních axiomatických teorií množin. To "the" v názvu této teorie bylo částečně způsobeno naší nedostatečnou jazykovou citlivostí v angličtině, speciálně citlivostí na užívání členů, ale jistě také tím, že si tehdy Vopěnka a někteří jeho kolegové skutečně trochu mysleli, že se jedná o tu jedinou a pravou alternativu ke Cantorově teorii množin, ve které se v budoucnosti bude dělat matematika. Zatím se to nestalo. Kdoví, stát se to ještě může, ještě není všem dnům konec. :-D Překvapilo by mne to, ale nevylučuji to.
Osobně si též myslím, že název Vopěnka´s Alternative Set Theory je lepší. Nebo možná ještě lepší název je: Vopěnka´s Set Theory.

Ačkoliv Petr Vopěnka založil na pražském Matfyzu studijní směr teoretické kybernetiky a nebyl jistě proti aplikacím matematiky, naopak chtěl, aby matematici pracovali smysluplně (a matematika jim, až snad na výjimky, nebyla pouze hrou), tak pokud vím neměl nikdy počítač a nenaučil se na něm pracovat. Kdysi jsem si s ním mailoval přes Karla Čudu. Před třemi roky jsem navštívil některé naše bývalé kolegy na Matfyzu a jeden z nich mi řekl, že Vopěnka knihy stále píše rukou nebo na psacím stroji. Až pak je někdo jiný převede do počítače a že na ty knihy Vopěnkovi vytvořily grant. Když jsem se ho zeptal, zda Petrovi nevadí, že nemůže surfovat na internetu, že tam je spousta zajímavých věcí, tak se mne ten bývalý kolega zeptal, co je tam tak zajímavého, co by Vopěnku mohlo zajímat? Myslím si, že dost.

Autorovy osobní vzpomínky na Petra Vopěnku a má práce pod jeho vedením

S Petrem Vopěnkou jsem se seznámil ve školním ročníku 1968-69, kdy jsem jako student 3. ročníku pražského Matfyzu začal navštěvovat jeho seminář o teorii polomnožin. V létě 1969 mne Vopěnka vyslal na konferenci o matematické logice v Manchestru, vyjelo nás tehdy na tu konferenci z Prahy, ale i z Brna a Košic, víc, do září 1979 se ještě dalo celkem snadno vyjíždět na západ. Na západě se mi líbilo. Po návratu jsem se Vopěnkovi svěřil, že bych nejraději emigroval. Petr mi řekl, abych to nedělal, že bych měl nejprve dostudovat a že očekává, že se politická situace v Československu zlepší. Vopěnka byl český patriot a myslím si, že mu vadilo, že tolik lidí po roce 1968 emigrovalo, že to byla ztráta pro Československo.
Emigranty však nijak neodsuzoval. Z jeho studentů a nejbližších kolegů na Matfyzu již v roce 1969 emigrovali Tomáš Jech a Karel Hrbáček a za několik let se stali profesory na universitách ve Spojených státech.
Po srpnu 1968 byla Vopěnkovi nabídnuta profesura ve Spolkové republice. Odmítl ji však a zůstal v Československu. Politická situace v Československu se nezlepšovala (upřímně řečeno jsme si ji nedovedli zlepšit, samo od sebe se nic nezmění a přítomnost sovětské armády lidi od změn odrazovala) a tak jsem emigroval později, v roce 1977.

Petr Vopěnka byl vynikající pedagog. Na sebe, na studenty i na kolegy měl vysoké nároky. Ochotně jim však pomáhal. Zhruba v roce 1970 ukončil své období v klasické Cantorově teorii množin a v teorii polomnožin, měl v tom pár dobrých publikací, byl docentem na Matfyzu, profesuru mu komunisti sice zatrhli, ačkoliv její návrh kdysi čekal jen na podpis u Dubčeka, a chtěl začít dělat něco nového a nejraději hodně podstatného a velikého. Tak o tom i mluvil.
Vadilo mu (a v tom nebyl a není sám), že matematici nějak něco intuitivně vymyslí, pak si to pro sebe podle zákonů logiky dokáží a teprve pak to stručně a téměř zašifrovaně sepíší dle zvyků publikování matematiky. Čtenáři znalí matematiky si to pak přečtou, odšifrují si to, přeloží si to do svého intuitivního matematického myšlení a teprve pak to pochopí. Jinými slovy, základní zákony logiky, které jsou pro příliš malé kroky, a zvyklosti psaní o matematice skoro nijak nesouvisí s tím, jak matematici (ve větších logických krocích anebo prostorově) myslí. Pěkným příkladem tohoto je Cantorova diagonální metoda, kterou je například možno dokázat, že množina reálných čísel je nespočetná. Důkaz. Předpokládejme, že množina reálných čísel v intervalu (0, 1) je spočetná. Tak ji uspořádejme jako r-1, r-2, r-3 .... Pak vytvořme reálné číslo r = 0,...., tak, že na n-tém decimálním místě je jiná cifra než než v čísle r-n. Toto nové číslo se liší od všech r-1, r-2, r-3 ... Došli jsme tedy ke sporu. Tudíž množina reálných čísel je nespočetná. Cantorova diagonální metoda jako taková však nepatří mezi základní metody logiky. Ani nevím, jak ji jednoduše do nějakého systému logiky zabudovat.

První diplomový úkol, který mně Vopěnka dal, bylo, abych se zamyslel nad tím, jak definovat nějakou novou abecedu matematiky, novou logiku a novou matematiku tak, aby se v ní pracovalo blíže matematické intuici, tak jak skutečně matematici myslí a vymýšlejí nové věci. Nebyl to jasně definovaný a malý úkol. Po několika měsících jsem došel k tomu, že tento problém během roku ani částečně nevyřeším (dosud tento problém nevyřešil dle tehdejších Petrových představ nikdo a možná jej ani není možné vyřešit), a tak jsem dostal nový, celkem pěkný diplomový úkol, který jsem vyřešil. Jednalo se o sematické fragmenty konečně axiomatizovaných teorií a o dokazování tvrzení pomocí neexistence velkých fragmentů negace tvrzení. V diplomové práci jsem definoval parciální semantiku sporných teorií. Vlastně jsem tím pod vedením Petra Vopěnky i trošku vyřešil nebo spíš načal řešení (pokud mohu být jednou trochu neskromný), dosud nevyřešeného 24. Hilbertova problému. Vysvětlení tohoto by bylo na hodně dlouhé povídání a ještě jsem to nikdy nesepsal, nikdo to nezkontroloval, tak kdoví, zda to je pravda. Vtip je v tom, že dle (tehdejšího) názoru Vopěnky, a na tom něco pravdy asi je, skutečná složitost důkazu záleží na tom, kolikrát se v důkazu tvrzení musí něco zvolit tak, že něco platí nebo neplatí. Hilbert v 24. problému vyžaduje definici kritéria složitosti důkazu a teorii důkazů tak, že je možno dokázat, že daný důkaz je nejjednodušší. A v metodě sémantických fragmentů, maximální velikost fragmentu teorie nějak závisí na tom, kolikrát se něco musí zvolit, aby se dokázalo, že nějaké tvrzení není konzistentní. Toto 24. Hilbertův problém sice obecně neřeší, dává to však jednu možnou a celkem přirozenou definici míry spornosti konečně axiomatizovaných teorií bez rovnosti.

Na základě mé diplomky jsem později v Nizozemsku napsal několik publikací v oboru umělého intelektu o tom, jak pracovat se vzájemně spornými kusy informací. Populárně jsem to nazýval, jak umožnit "ženskou logiku na počítači". To není myšleno nijak negativně, složité teorie a velké soubory informací jsou vždy rozporuplné a přesto s nimi musíme umět nějak real-time pracovat. Vlastně jsem díky tomu i lépe pochopil, jak (možná) ženy, ale nejen ženy v složitých situacích myslí. Radši to zde psát nebudu. Je to na dlouhé povídání a některým by se asi nelíbilo, že prozrazuji principy jejich myšlení.

Pod vedením Petra Vopěnky jsem na Matfyzu v sedumdesátých letech prošel vědeckou výchovou a napsal kandidátskou disertační práci s dlouhým názvem: Některé otázky z topologie a aproximace reálných funkcí hyperpolynomy v alternativní teorii množin.
Část o topologii jsem v angličtině publikoval v článku Topological problems in alternative set theory.
V části o aproximaci reáných funkcí hyperpolynomy jsem dokázal, že v alternativní teorii množin každou spojitou reálnou funkci na uzavřené množině je možno aproximovat nekonečně blízkým hyperpolynomem. Totéž jsem dokázal pro funkce včetně derivací. Tj. např. pokud reálná funkce má na uzavřené množině n-tou derivaci, tak existuje hyperpolynom, který ji nekonečně blízko aproximuje a totéž platí pro derivace tohoto hyperpolynomu. Je to zobecnění v alternativní teorii množin a dotažení přes horizont známé Stone-Weistrassovy věty z klasické matematiky o aproximaci spojité reálné funkce na uzavřené množině libovolně blízkým polynomem. O této části mé disertace jsem nikdy nic nepublikoval, ani nepokračoval v napočatém výzkumu a celkem mě to mrzí. Brzo po obhajobě práce jsem totiž emigroval a v Nizozemsku jsem začal pracovat v informatice.

Na mou práci mi Petr Vopěnka jako školitel napsal vynikající posudek. Až mě překvapilo jak moc pozitivní. Když jsem se ho zeptal, jestli všechna ta kladná slova o mé práci a o jejím velkém příspěvku matematice myslí vážně, tak mi otevřeně, zcela upřímně a pro něj typicky odpověděl: Co já vím? To nevím ani o své práci. Jak velký přínos pro matematiku to bude, to se bude vědět až za padesát let.

Několik měsíců po obhajobě mé kandidátské disertační práce jsem emigroval. Stýkali jsme se však i nadále. Do roku 1989 jsme se však snažili v zájmu Vopěnky to pro české úřady dělat tajně.