|
S5 - Aplikovaná matematika |
|---|---|
SVOČ 2004SoutěžOrganizaceInformace
|
Pro snažší hledání prací podle autora, názvu nebo sekce použijte seznam prací. V případě špatné čitelnosti rovnic v abstraktu na webu, prosím použijte následující dokument ve formátu pdf - svocabst.pdf. Genetické algoritmy v metodách diskrétní optimalizace V práci je věnována pozornost těm optimalizačním úlohám, v nichž cílová funkce není "příliš vhodná" pro použití běžných numerických metod, tj. není diferencovatelná ani konvexní, dokonce nemusíme předpokládat spojitost. Ukazuje se, že pro tyto úlohy je vhodné formulovat je jako úlohy diskrétní optimalizace. Předností genetických principů v konstrukci algoritmů je ta skutečnost, že jejich počítačová realizace je časově zvládnutelná i u velmi složitých a rozsáhlých optimalizačních úloh. Dá se ukázat, že chyba výpočtu závisí na zvolené diskretizaci. Součástí práce je program pro řešení jisté třídy optimalizačních úloh, který je výsledkem práce autora. Teoretickým základem práce je [Ulrich Bodenhofer: Genetic Algorithms: Theory and Applications], [Reimar Hofmann: Examinations on the Algebra of Genetic Algorithms]. Práce je rozšířenou verzí semestrální práce z předmětu Matematická optimalizace. Vícerozměrné filtry a jejich použití
Oblast 2D filtrů je v současné době velmi dobře prozkoumána. Úprava digitálních fotografií je dovedena téměř k dokonalosti. Naproti tomu oblast 3D filtrů není tak důkladně probádána. Jejich použití může např. snížit nároky na hardware a i s méně výkonným PC dosáhnout stejně kvalitních výsledků při vizualizaci trojrozměrných dat.
Oscillations of the foreign exchange rate and the Devil's staircase
Otázka odhadovania a vysvetl'ovania pohybov zahraničného výmenného kurzu
je kl'účová v otvorených ekonomikách s plávajúcim výmenným kurzom. V práci A. Erdélyiho
(2003) bol analyzovaný model odchýlky reálneho výmenného kurzu od jeho optimálnej
hodnoty v ekonomike očistenej od všetkých relevantných ekonomických vplyvov. V tejto
práci predkladáme upravenú, diskrétnu verziu modelu. Hodnota premennej je modelovaná
iba pomocou očakávaní a špekulácií agentov na trhu a to vo forme nelineárnej diferenčnej
rovnice druhého rádu. Skúma sa stabilita (resp. nestabilita) zodpovedajúceho dvojrozmern
ého diferenčného systému pre rôzne hodnoty parametrov a navyše aj zložitejšia
dynamika, ktorá sa v modeli A. Erdélyiho nenachádzala. Podobne ako v jeho modeli, aj
tu sa ukazuje, že nielen ekonomické faktory, ale aj samotné správanie l'udí môže viest' v
ekonomike k fluktuáciám výmenného kurzu. Ťažiskom práce je objasnenie komplikovanej
dynamiky modelu pri tých hodnotách parametra, kedy je systém nestabilný.
Modelování zavěšené rotující kapky V práci je odvozena rovnice pro tvar axiálně symetrické rotující zavěšené kapky a numericky řešena. Výsledky jsou porovnány s uskutečněným pokusem. Algoritmus variační metody pro segmentaci textu na obrazu
Textovou část libovolného obrazu si představujeme jako konečný počet oblastí, které se liší zabarvením (resp. stupněm šedi - od černé po bílou) a jsou odděleny svými hranicemi. Mumford a Shan ve své práci ([MS]) z roku 1989 navrhli popsat tuto intenzitu textu integrálním funkcionálem
Kto z koho? Modely biologických spoločenstiev dravec - korisť Ustrednou témou predkladanej práce je spolužitie dravca s jeho korist’ou. Na začiatku ponúkame krátky pohl’ad do histórie vývoja matematických modelov dvojdruhových biologických spoločenstiev, v ktorých jeden zo zúčastnených druhov na prežitie potrebuje škodit’ inému druhu. Prinášame prehl’ad vlastností základných modelov Lotkovho- Volterrovho typu a modelu s Hollingovým typom odozvy s konštantými koeficientami. Venujeme sa však aj vlastnostiam modelov s nekonštantými koeficientami, teda systémom neautonómnych diferenciálnych rovníc, ktoré lepšie vystihujú premenlivost’ prírodného prostredia. Kl’účovým výsledkom práce je formulácia matematickej podmienky pre vyhynutie dravca v nestacionárnom prostredí. Naviac uvádzame príklad modelu popisujúceho reálne spolužitie živočíchov v prírode, ktorý využíva nestacionárny Lotkov-Volterrov model s vnútrodruhovou konkurenciou. Študované modely majú široké uplatnenie nie len v biológii, ale aj v ekonomických, politických či spoločenských vedách. Broydenova metóda použitá pri štúdiu pohybu rovinných kriviek
Práca popisuje aplikáciu Broydenovej metódy na riešenie geometrickej rovnice
Metóda operátorovho rozštiepenia pre Navier-Stokesove rovnice v cylindrických súradniciach V práci som sa zaoberala prúdením kvapalín v trubici. Najprv som previedla Navier-Stokesove rovnice, opisujúce prúdenie kvapalín do cylindrických súradníc. Pretože sme predpokladali, že tok je radiálne symetrický, dostali sme dvojrozmerný problém namiesto trojrozmerného. Tento som d'alej riešila metódou operátorového rozštiepenia. Rovnice a okrajové podmienky vzniknuté po aplikácii tejto metódy som zdiskretizovala podl'a priestorových premenných a po úprave som ich použila na výpočet dvoch príkladov. V práci je tiež kapitola o riešení sústavy rovníc, ktorá vznikla v oboch príkladoch. Matematický model optimalizace vytížení pilotů Tato práce vznikla ma žádost jisté letecké společnosti. Obsahuje čtyři přístupy k optimalizaci vytížení pilotů. Výsledkem práce jsou vlastní algoritmy pro vytváření turnusů. Zadavatelé jsou s dosavadními výsledky spokojeni. Variačni modely materiálů s mikrostrukturou
Samovolný vznik vnitřní mikrostruktury u některých materiálů
(speciální slitiny, tzv. materiály s pamětí)
lze vysvětlit pomocí variačních modelů. V těchto modelech
integrand integrálního funkcionálu potenciální energie
je nekonvexní funkce gradientu posunutí, která má alespoň
dvě lokální minima. Poloha těchto minim určuje možné mikrstruktury materiálu při dané deformaci.
Solution of compressible flow with low Mach numbers Tato práce se zabývá numerickým řešením nestacionárního nevazkého stlačitelného proudění pomocí nespojité Galerkinovy metody. Řád přesnosti metody je ověřen v případě skalární rovnice konvekce-difúze. Pro Eulerovy rovnice vyžaduje explicitní časová diskretizace výrazné omezení časového kroku, úměrné Machovu číslu. K odstranění této nevýhody je na Eulerovy rovnice aplikována semiimplicitní linearizace. Nicméně numerické experimenty ukazují, že tento algoritmus nedává dostatečně dobré výsledky v případě malých Machových čísel. Ukážeme, že to je způsobeno volbou okrajové podmínky. Navrženy jsou dvě techniky vedoucí k výraznému zlepšení: jednoduchá heuristická modifikace standardních okrajových podmínek a odvození nových okrajových podmínek založených na metodě charakteristik. Ty druhé jsou s úspěchem testovány pro Machova čísla 0.7 až 10-6. Na závěr je navržena semiimplicitní linearizace vazkých členů. Její testování bude předmětem dalšího výzkumu. Viscous flow in elastic tubes (Fluid-Structure interaction) Práce, která je částí autorovy diplomové práce, se zabývá odvozením a aplikací metody pro popis interakce proudového pole a elastické látky. Využívá přístupu mechaniky kontinua za použití ALE (Arbitrary Lagrange Euler) souřadnic. Možnosti metody ukazuje při odvození dvou typů modelů. Pro vzniklý nestacionární nelineární problém formuluje numerickou metodu a přikládá výsledky ve 3 prostorových dimenzích za použití vlastního programu pro řešení. Vlastní přínos autora je aplikace ALE metody na odvozen í obecného zákona zachování a následná formulace modelu. Hlavní přínos je v realizaci numerické metody a získání 3D výsledků problému interakce. Matematický model říčního toku
Tato práce se zabývá numerickou simulací říčního toku v jedné dimenzi. Matematický model je tvořen počátečně-okrajovou
úlohou pro parciální diferenciální rovnice hyperbolického typu, která je řešena pomocí centrálních schémat. Hlavním přínosem
této práce je postup pro určování hraničních
hodnot semi-diskrétního modelu pomocí Riemannova invariantu. V závěru jsou diskutovány numerické simulace toku pro
rovné dno i dno s nerovnostmi.
Tvarová optimalizace v úlohách řízených zobecněnými Navier-Stokesovými rovnicemi
V práci se řeší problém optimalizace tvaru vstupní komory, která je součástí
strojů na výrobu papíru a která přivádí směs
"voda+dřevěná hmota" do výrobního procesu.
Cílem je navrhnout takový tvar, který zajišt'uje a priori daný průběh rychlosti směsi
na výtokové části. Z matematického hlediska se jedná o úlohu optimálního řízení, kdy
řídící proměnnou je tvar oblasti, která představuje vstupní komoru, stavovou úlohou je
zobecněený Navier-Stokesův systém s netriviálními okrajovými podmínkami. Numerické řešení nestlačitelných Navierových-Stokesových rovnic v oblastech s pohybujíci se hranicí V práci nejprve představíme rovnice popisující proudění tekutin a poté formulujeme jejich zjednodušení, tedy Navierovy-Stokesovy rovnice, připomeneme některé věty a definice a zavedeme značení, které budeme v celé práci používat. Navierovy-Stokesovy rovnice v práci řešíme metodou konečných prvků, kterou podrobně popisujeme a uvádíme jednoduchý příklad. Dále řešíme stacionární Navierovy-Stokesovy rovnice, definujeme slabé řešení a dokazujeme jeho existenci a jednoznačnost pro homogenní okrajové podmínky. Zabýváme se také nehomogenními okrajovými podmínkami a nakonec se zabýváme nalezením přibližného řešení, je zde také diskutována problematika nelinearity Navierových-Stokesových rovnic. Později řešíme nestacionární Navierovy-Stokesovy rovnice, zabýváme se časovou diskretizací a přibližným řešením. V další části řešíme problematiku pohybující se oblasti. Popisujeme metodu ALE a aplikujeme ji na Navierovy-Stokesovy rovnice. Závěr práce je věnovaný popisu metod, které jsme zvolili k řešení Navierových-Stokesových rovnic, a výsledkům. Na příkladu, jehož řešení známe, porovnáváme přibližné a přesné řešení a ukazujeme, proč je vhodná volba izoparametrických konečných prvků. Nakonec uvádíme výsledky příkladu, který jsme řešili. Dynamics of learning the rational expectation equilibrium orbit In [5] a difference model with rational expectation for a current state of the economy is introduced. Afterwards, a formula with unknown parameter is given, which individuals use for forming their rational expectations at a given time. The individuals guess this parameter and revise it each time the new state of the economy is known. For this correction they use a general learning system. The first reason why we have focused on this learning system is that in special cases it performs a strange behavior. The analysis of the dynamics of this learning process is not carried out in detail in [5] and the aim of Section 4 is to analyze this dynamics. The second reason is, that in the models with rational expectation linear models are usually studied, because then Certainty Equivalence holds and the perfect foresight orbit is the orbit under the rational expectation up to small random fluctuation. This learning process is not linear and therefore the dynamics is even more interesting. We have shown the possibility of the dynamics described above. We have studied the dynamics and showed a possibility of chaotic behavior and thus the sensibility to initial conditions. The occurrence of this behavior depends on determining of the revision parameter. Therefore there can appear cycles as well as chaotic behavior. The economy in such cases can converge and diverge too. Nespojitá Galerkinova metoda pro řešení nelineárních konvektivně-difuzních rovnic Práce se zabývá nespojitou Galerkinovou metodou a její aplikací na rovnice konvektivně-difuzní a rovnice ryze konvektivní. Hlavním cílem je otestovat tuto metodu aplikovanou na problémy, jejichž řešení obsahuje nespojitosti nebo velké gradienty. V první části práce je zformulován problém a následně provedena jeho diskretizace, která vede k odvození nespojité Galerkinovy metody. Druhá a třetí část je věnována apriorním od- hadům a odhadům chyby přibližného řešení při aplikaci odvozené metody na lineární konvektivně-difuzní rovnici. V poslední části se věnujeme numerické realizaci a ověření teoretických odhadů. Pomocí odvozené nespojité Galerkinovy metody je zde počítána chyba přibližného řešení a řád konvergence při aplikaci na testovací příklady, čímž se testuje přesnost uvedené metody. Všechny výsledky jsou získány mým vlastním programem v jazyce C. Sekvenční algoritmy v metodách nehladké optimalizace
Dnes již klasická Powellova metoda ([P]) je příkladem numerické metody nehladké optimalizace. Rozvoj těchto metod a algoritmů je spojován se jmény Davidon ([D]), Fletcher ([F]), Broyden ([BR]), Gill ([GM]), Murray ([GN]), Shano ([S]), Fiacco ([FC]), McCormick ([FC]), Goldfarb ([G]).
Související odkazy:
|
,
kde je oblast obrazu (obvykle obdélník), K je sjednocení hranic všech podoblastí, g=g(x,y) určuje intenzitu zabarvení (resp. stupeň šedi),
je celková míra (Hausdorfova) hranic podoblastí, u je optimální intenzita zabarvení (regularizovaná funkce g).
, ktorá popisuje pohyb rovinnej krivky v závislosti od jej krivosti k a dotykového uhla
. Zahrňa podrobné odvodenie príslušného uzavretého systému parabolických diferenciálnych rovníc. Použité algoritmy zohl'adňujú najprv triviálnu vol'bu
, neskôr sú deliace body krivky rozdistribuované z miest s väčšou krivost'ou do tých
s menšou. Táto redistribúcia ul'ahčí numerické t'ažkosti. Počas výpočtu bola použité aj
riešenie trojdiagonálneho systému s periodickými okrajovými podmienkami.