Pro snažší hledání prací podle autora, názvu nebo sekce použijte seznam prací. V případě špatné čitelnosti rovnic v abstraktu na webu, prosím použijte následující dokument ve formátu pdf - svocabst.pdf.

Dynamical systems generated by Darboux Baire-1 functions
Michaela Čiklová
MÚ Slezská Univerzita Opava
Ročník: 4.
Vedoucí práce: Prof. RNDr. Jaroslav Smítal, DrSc.

Abstrakt:

In 2001, Csörnyei, O'Neil and Preiss proved that the composition of any two Darboux Baire-1 functions possesses a fixed point, solving a long-standing open problem. As a consequence, in 2003 Szuca proved that for such functions the Sharkovsky theorem is satisfied. In this paper we define topological entropy for Darboux Baire-1 functions using the Bowen's approach, and show that this entropy has most of the usual properties. In particular, the variational principle is true, and consequently, topological entropy is supported by the set of recurrent points. As the main result we prove that, similarly as for the continuous maps of the interval, a Darboux Baire-1 function has positive topological entropy if and only if it has a cycle of period different from . To do this we develop theory of recurrent, , and nonwandering points of such functions since, in general, the standard results from the topological dynamics, are not true: For example, there is a Darboux Baire-1 function f such that neither the set of recurrent points nor the set of points of f are invariant.

Bifurkácie kodimenzie 1 pre kvadratické a kubické autonómne systémy diferenciálnych rovníc
Hriňák Martin
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave
Ročník: 5.
Vedoucí práce: Prof.RNDr. Milan Medveď, DrSc.

Abstrakt:

V tejto práci sú študované niektoré dvojrozmerné a trojrozmerné autonómne systémy obyčajných diferenciálnych rovníc. Kvadratický systém je analyzovaný podrobnejšie, analyzuje sa počet singulárnych bodov tohto systému, ich typ, bifurkácie kodimenzie 1 a hľadajú sa limitné cykly tohto systému. Analýza kubického systému je obmedzená na zisťovanie existecie periodických trajektórií. Aplikácia dosiahnutých výsledkov je možná v uvedenom neokeynesovskom IS-LM modeli. Anylýza periodických trajektórií trojrozmerného autonómneho systému sa robí pomocou redukcie na centrálnu varietu. Obmedzuje sa však len na popísanie postupu, keďže získané vzťahy medzi jednotlivými parametrami sú značne rozsiahle. Zároveň sa pri jednotlivých systémoch ukazuje, že Poincerého-Andronovova veta sa práve pri systémoch tohto typu nedá aplikovať.

Quasilinear hyperbolic equation with hysteresis operator
Petra Kordulová
MÚ Slezská Univerzita Opava
Ročník: 5.
Vedoucí práce: RNDr. Jana Kopfová, Ph.D.

Abstrakt:

We consider quasilinear hyperbolic equations with a hysteresis operator. Firstly, the hysteresis operator is a simple play with given boundary condition. Later the same hysteresis model is considered but the boundary condition is changed. Some special examples of the generalized play operators are mentioned. An explicit solution for an elementary example is given. This paper is based on the example which is solved in [7]. But here more complicated boundary condition is taken, the solution is computed in detail and some special examples of the play operators are given.

Jemné vlastnosti sobolevovských funkcí
Pavel Podbrdský
MFF UK Praha
Ročník: 6.
Vedoucí práce: Prof. RNDr. Jan Malý, DrSc.

Abstrakt:

Věta o záměně proměnných v Lebesgueově integrálu je jedním ze základních nástrojů matematické analýzy. Její různá zobecnění patří mezi velmi studované oblasti matematiky. Jednou ze zajímavých otázek je najít co nejobecnější třídu přechodových zobrazení u, pro které věty daného typu platí. Je-li sobolevovská funkce (tj. existují-li všechny slabé parciální derivace funkce u, které jsou navíc reprezentovatelné lokálně integrovatelnými funkcemi), daná problematika vede na zkoumání chování funkce u na množinách nulové míry a na tzv. m-coarea vlastnost.

V naší práci se danou problematikou zabýváme v obecnosti zobrazení , kde X a Y jsou metrické prostory; prostor X je navíc vybaven doubling mírou m. V této obecnosti je potřeba najít náhradu za pojem gradientu v eukleidovských prostorech. Jednou z možností je pojem (slabého) horního gradientu.

V první kapitole seznamujeme čtenáře s úvodem do dané problematiky, nastiňujeme motivace jednotlivých problémů, směry zkoumání a uvádíme některé články, které se danou problematikou zabývají. Ve druhé kapitole uvádíme základní definice, značení a základní tvrzení, které budeme používat. Dále definujeme Lorentzovy prostoru funkcí s hodnotami v reálném Banachově prostoru a uvádíme základní tvrzení pro práci s nimi.

Ve třetí kapitole zavádíme a zkoumáme vlastnosti newtonovských prostorů funkcí které mají horní gradient v Lorentzově prostoru Newtonovské prostory tvoří jeden z možných přístupů k definici sobolevovských prostorů v této obecnosti.

Ukazujeme, že tyto newtonovské prostory jsou Banachovy a za jistých předpokladů ukazujeme, že množina lipschitzovských funkcí je v nich hustá. To nám dává možnost dokázat odhad pro kapacitu množiny nelebesgueovských bodů funkcí z těchto prostorů. Výsledky o newtonovských prostorech jsou nové pro Ve čtvrté kapitole ukazujeme, že za předpokladu platnosti (1,p)-Poincarého nerovnosti pro některé p<m (resp. pro p=m za dodatečných předpokladů na kvalitu prostoru X) precizně reprezentované funkce které mají horní gradient v prostoru splňují m-coarea vlastnost. To zlepšuje výsledek z článku [M1], kde je zmíněné tvrzení dokázáno za silnějšího předpokladu (1,1)-Poincarého nerovnosti. Navíc ukazujeme, že funkce z prostoru lze precizně reprezentovat a tedy tyto funkce mají "dobré" reprezentanty, které m-coarea vlastnost splňují.

Tato práce je mírně upravenou verzí diplomové práce autora. Nemá žádou souvislost s pracemi spolupodanými autorem do dřívějších ročníků soutěže SVOČ.

Asymptotické chování řešení parciálních diferenciálních rovnic na neomezených prostorových intervalech
Lukáš Poul
MFF UK Praha
Ročník: 5.
Vedoucí práce: RNDr. Eduard Feireisl, DrSc.

Abstrakt:

V práci studujeme asymptotické chování řešení kvazilineární evoluční rovnice se zadanou nezápornou počáteční podmínkou a homogenní Dirichletovou okrajovou podmínkou. Hlavním výsledkem je důkaz existence řešení, které provelké časy konverguje k prostorově lokalizované vlně stacionárního řešení cestující do nekonečna.

Podokázání dobré určenosti problému, tj. existence, jednoznačnosti řešení, se v práci věnujeme analýze existence a jednoznačnosti netriviálního integrovatelného řešení příslušného stacionárního problému na , tzv. ground state solution. Dále zobecníme některé výsledky teorie koncentrované kompaktnosti na případ kvazilineárních rovnic. Hlavní výsledek je poté dokázán s přispěním teorie tzv. nulových bodů.

Hlavní výsledek je netriviálním zobecněním tvrzení známého pro semilineární rovnice. Při jeho důkazu byla zobecněna tvrzení známá pro případ semilineárních rovnic.

Práce je mírnou modifikací autorovy diplomové práce.

Související odkazy:

• Práce v sekci S2 - Pravděpodobnost, statistika, ekonometrie a finanční matematika
• Práce v sekci S3 - Matematické struktury
• Práce v sekci S4 - Teoretická informatika
• Práce v sekci S5 - Aplikovaná matematika
• Seznam všech prací - podle sekcí